Une fraction irréductible - Corrigé

Énoncé

Soit \(p\) , \(q \in \mathbb{N}^\ast\) premiers entre eux. Démontrer que la fraction \(\dfrac{9p+11q}{5p+6q}\) est irréductible.

Solution

On amorce l'algorithme d'Euclide :

\(\begin{align*}\renewcommand{\arraystretch}{1.2}\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline a&b&q&r \\ \hline 9p+11q & 5p+6q & 1 & 4p+5q\\ \hline 5p+6q & 4p+5q & 1 & p+q\\ \hline 4p+5q & p+q & 4 & q\\ \hline \end{array}\end{align*}\)  

donc, d'après le lemme d'Euclide, on a \(\mathrm{PGCD}(9p+11q;5p+6q)=\mathrm{PGCD}(p+q;q)\) .

Soit  \(d\)  un diviseur commun de  \(p+q\)  et  \(q\) .
Alors il existe  \(k\) ,  \(k' \in \mathbb{Z}\)  tels que  \(p+q=kd\)  et  \(q=k'd\) .
En particulier,  \(p=kd-q=kd-k'd=(k-k')d\)  donc  \(d\)  divise  \(p\) .

Ainsi,  \(d\)  est un diviseur commun de  \(p\)  et  \(q\) . Or  \(p\)  et  \(q\)  sont premiers entre eux, donc  \(d \leqslant 1\) .

Comme  \(1\)  est un diviseur commun    de  \(p+q\)  et  \(q\) , on en déduit que  \(\mathrm{PGCD}(p+q;q)=1\) , et donc  \(\mathrm{PGCD}(9p+11q;5p+6q)=1\) .

Ainsi, la fraction \(\dfrac{9p+11q}{5p+6q}\) est irréductible.